Προτεινόμενοι Σύνδεσμοι:    greece   -   greece hotels   -   ειδησεις   -   greece news   -   ταβλι στο internet   -   livescore   -   νέα
 easypedia

Easypedia.gr
Ελλάδα
Αρχαία Ελλάδα
Ελληνες
Πρωθυπουργοί
Οικονομία
Γεωγραφία
Ιστορία
Γλώσσα
Πληθυσμός
Μυθολογία
Πολιτισμός & Τέχνες
Ζωγραφική
Θέατρο
Κινηματογράφος
Λογοτεχνία
Μουσική
Αρχιτεκτονική
Γλυπτική
Αθλητισμός
Μυθολογία
Θρησκεία
Θετικές & Φυσικές Επιστήμες
Ανθρωπολογία
Αστρονομία
Βιολογία
Γεωλογία
Επιστήμη υπολογιστών
Μαθηματικά
Τεχνολογία
Φυσική
Χημεία
Ιατρική
Φιλοσοφία & Κοινωνικ. Επιστήμες
Αρχαιολογία
Γλωσσολογία
Οικονομικά
Φιλοσοφία
Ψυχολογία
Γεωγραφία
Ασία
Αφρική
Ευρώπη
Πόλεις
Χώρες
Θάλασσες
Ιστορία
Ελληνική Ιστορία
Αρχαία Ιστορία
Βυζάντιο
Ευρωπαϊκή Ιστορία
Πόλεμοι
Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία
Σύγχρονη Ιστορία
 

Πλήρες διατεταγμένο σώμα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στα Μαθηματικά, ένα διατεταγμένο σώμα ονομάζεται πλήρες αν και μόνο αν ικανοποιεί την ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος.

Πίνακας περιεχομένων

Η ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος

Θεωρούμε ένα σύνολο \ A \subset \mathbb{R} διάφορο του κενού και άνω φραγμένο. Τότε αυτό διαθέτει κάποιο ελάχιστο άνω φράγμα \ S, ήτοι,

  • Υπάρχει \ S (μοναδικό) ώστε να κανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες:
    • t \leq S για κάθε t \in A
    • Αν t \leq M για κάθε t \in A τότε S \leq M

H ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος είναι ισοδύναμη με δυο άλλες ιδιότητες,οι οποίες μερικές φορές αναφέρονται ως ο ορισμός της πληρότητας του \R.

Η ιδιότητα των ακολουθιών Cauchy

Αν (x_n)_{n\in\N} είναι μια πραγματική ακολουθία Κωσύ τότε συγκλίνει.

Η ιδιότητα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων

Αν (L_n)_{n\in\N} είναι μια ακολουθία εγκιβωτισμένων κλειστών διαστημάτων (ήτοι, L_{i+1} \subset L_i) τα μήκη των οποίων τείνουν στο μηδέν,τότε υπάρχει μοναδικό στοιχείο \ x_0 τέτοιο ώστε x_0 \in L_i για κάθε φυσικό αριθμό \ i.

Παρατηρούμε ότι το σύνολο \mathbb{Q} δεν είναι πλήρες. Επί παραδείγματι,ας θεωρήσουμε το σύνολο S=\left\{ \begin{matrix}q \in \mathbb{Q} \end{matrix}: q^2<2 \right\}. Το \ S είναι εκ των άνω φραγμένο από το 3 που είναι ρητός,αλλά δεν έχει ελάχιστο άνω φράγμα,γιατί αν είχε,θα έπρεπε να ισούται με το ελάχιστο άνω φράγμα του \mathbb{R} δηλαδή τον άρρητο αριθμό \sqrt 2.

Βιβλιογραφία (στα Αγγλικά)

  • Benjamin Fine, Gerhard Rosenberg, The Fundamental Theorem Of Algebra (1997)