Προτεινόμενοι Σύνδεσμοι:    greece   -   greece hotels   -   ειδησεις   -   greece news   -   ταβλι στο internet   -   livescore   -   νέα
 easypedia

Easypedia.gr
Ελλάδα
Αρχαία Ελλάδα
Ελληνες
Πρωθυπουργοί
Οικονομία
Γεωγραφία
Ιστορία
Γλώσσα
Πληθυσμός
Μυθολογία
Πολιτισμός & Τέχνες
Ζωγραφική
Θέατρο
Κινηματογράφος
Λογοτεχνία
Μουσική
Αρχιτεκτονική
Γλυπτική
Αθλητισμός
Μυθολογία
Θρησκεία
Θετικές & Φυσικές Επιστήμες
Ανθρωπολογία
Αστρονομία
Βιολογία
Γεωλογία
Επιστήμη υπολογιστών
Μαθηματικά
Τεχνολογία
Φυσική
Χημεία
Ιατρική
Φιλοσοφία & Κοινωνικ. Επιστήμες
Αρχαιολογία
Γλωσσολογία
Οικονομικά
Φιλοσοφία
Ψυχολογία
Γεωγραφία
Ασία
Αφρική
Ευρώπη
Πόλεις
Χώρες
Θάλασσες
Ιστορία
Ελληνική Ιστορία
Αρχαία Ιστορία
Βυζάντιο
Ευρωπαϊκή Ιστορία
Πόλεμοι
Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία
Σύγχρονη Ιστορία
 

Ταυτότητα του Όιλερ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Η ταυτότητα του Όιλερ (Euler's identity) στη μαθηματική ανάλυση, είναι η εξίσωση

e^{i \pi} + 1 = 0, \,\!

όπου

e\,\! είναι ο αριθμός του Όιλερ, η βάση των φυσικών λογαρίθμων,
i\,\! είναι ο φανταστικός αριθμός, ένας από τους δύο μιγαδικούς αριθμούς του οποίου το τετράγωνο ισούται με μείον ένα (ο άλλος είναι το -i\,\!), και
\pi\,\! ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.

Πήρε το όνομά της από τον Λέοναρντ Όιλερ και μερικές φορές είναι γνωστή και ως εξίσωση του Όιλερ.

Απόδειξη

Η φόρμουλα του Όιλερ για τυχαία γωνιά.
Η φόρμουλα του Όιλερ για τυχαία γωνιά.

Η ταυτότητα είναι μια ειδική περίπτωση της φόρμουλας του Όιλερ, που λέει ότι

e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!

για κάθε πραγματικό αριθμό χ. (οι μονάδες δίνονται σε ακτίνια.) Συγκεκριμένα, αν

x = \pi,\,\!

τότε

e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!

Αφού

\cos \pi = -1  \, \!

και

\sin \pi = 0,\,\!

αποδεικνύεται ότι

e^{i \pi} = -1,\,\!

που δίνει την ταυτότητα

e^{i \pi} +1 = 0.\,\!

Όνομα

Αν και ο Όιλερ έγραψε για τη φόρμουλά του συνδέοντας το e με τους όρους ημίτονο και συνιμήτονο, δεν υπάρχει πουθενά αναφορά ότι ο ίδιος απέδειξε την απλοποιημένη μορφή της ταυτότητας. Ακόμα η ίδια η φόρμουλα είναι πιθανό να ήταν γνωστή πριν από τον Όιλερ. Είναι λοιπόν αδύνατο να απαντηθεί το ερώτημα αν η ταυτότητα μπορεί να αποδωθεί στον Όιλερ.

Εξωτερικές συνδέσεις

Το περιεχόμενο του άρθρου βασίζεται στο αντίστοιχο άρθρο της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL. (ιστορικό/συντάκτες).